Дата публикации:
Соотношения между сторонами и углами треугольника: теорема синусов, теорема косинусов
- Теорема синусов:
- Синус угла в треугольнике равен отношению длины противолежащей стороны к длине гипотенузы.
- Формула: sin(A) = a / c, sin(B) = b / c, sin(C) = a / b
- Теорема косинусов:
- Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
- Формула: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C), a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A), b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos(B)
- Решение задач:
- В треугольнике ABC известны стороны AB = √13, AC = 3√13, BC = 13. Найдем угол A.
Используем теорему косинусов: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc
cos(A) = (13^2 + (3√13)^2 - √13^2) / (2 13 3√13)
cos(A) = (169 + 117 - 13) / (26√13)
cos(A) = 273 / (26√13)
A = arccos(273 / (26√13)) ≈ 19.47°
- В четырехугольнике ABCD известны стороны AB = 5, BC = 3, AD = √3, угол B = 60° и угол D = 90°. Найдем CD.
Используем теорему косинусов для треугольника BCD: cos(C) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc
cos(C) = (3^2 + CD^2 - 5^2) / (2 3 CD)
cos(C) = (9 + CD^2 - 25) / (6CD)
cos(C) = (CD^2 - 16) / (6CD)
Так как угол C = 180° - 60° - 90° = 30°, то cos(30°) = √3 / 2
√3 / 2 = (CD^2 - 16) / (6CD)
CD^2 - 16 = 3CD^2
2CD^2 = 16
CD = √8 = 2√2
- Площадь треугольника ABC = 15√3 / 4, BC = 5, угол B = 120°. Найдем периметр треугольника.
Площадь треугольника ABC = (1/2) BC AC sin(B)
15√3 / 4 = (1/2) 5 AC sin(120°)
15√3 / 4 = (5AC * √3) / 2
AC = 3
Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC = √13 + 5 + 3 = √13 + 8 + 3 ≈ 11.61
Таким образом, используя соотношения между сторонами и углами треугольника, можно решать разнообразные задачи на нахождение углов, сторон и периметра треугольников.